（2014•安徽模拟）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=3，AB=1．AD=2．∠BAD=120°，E，F，G，H分别是BC，PB，PC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PH∥平面GED；（Ⅱ）过点

Question

（2014•安徽模拟）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=√(3)，AB=1．AD=2．∠BAD=120°，E，F，G，H分别是BC，PB，PC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：PH∥平面GED；
（Ⅱ）过点F作平面α，使ED∥平面α，当平面α⊥平面EDG时，设PA与平面α交于点Q，求PQ的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接HC，交ED于点N，连接GN，
∵DHEC是平行四边形，∴N是线段HC的中点，又G是PC的中点，
∴GN∥PH，
又∵GN⊂平面GED，PH⊄平面GED，
∴PH∥平面GED．
（Ⅱ） 方法1：连接AE，∵∠BAD=120°，∴△ABE是等边三角形，
设BE的中点为M，以AM、AD、AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则B（(√(3))/(2)，-(1)/(2)，0），C（(√(3))/(2)，(3)/(2)，0），D（0，2，0），P（0，0，√(3)），
则E（(√(3))/(2)，(1)/(2)，0），F（(√(3))/(4)，-(1)/(4)，(√(3))/(2)），G（(√(3))/(4)，(3)/(4)，

作业帮用户 2017-11-06

问题解析

（I）连接HC，交ED于点N，连接GN．由平行四边形的性质和三角形的中位线定理即可得到GN∥PH，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）方法一：通过建立空间直角坐标系，利用平面GED⊥平面α⇔两个平面的法向量

n1

•

n2

=0，求得Q的坐标，进而取得|PQ|的长．
方法二：连接BH，则BH∥ED，及PB∥GE，可得平面PBH∥平面GED；利用三角形懂得中位线定理可得FM∥BK；利用菱形的性质可得AE⊥BK，再利用线面垂直的判定和性质定理可得BK⊥平面PAK，FM⊥平面PAK；过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为α，可得ED∥BH∥FM，ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，可得平面α⊥平面EDG．得平面α满足条件．利用已知可得PA、AK、PK，再利用(PQ)/(PK)=(PM)/(PA)，即可得到PQ．

名师点评

本题考点：

直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题综合考查了线面平行于垂直、面面平行与垂直、建立空间直角坐标系得出二面角的法向量、平行四边形的性质、三角形的中位线定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力．

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