中心在原点,焦点在X轴上的双曲线,实轴长为2,其离心率√3斜率为1的直线L与双曲线相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过原点,求直线L方程

Question

中心在原点,焦点在X轴上的双曲线,实轴长为2,其离心率√3
斜率为1的直线L与双曲线相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过原点,求直线L方程

Answer 1

实轴长为2,2a=2 a=1 e=c/a=√3 c=√3 b^2=c^2-a^2=2
双曲线方程为x^2-y^2/2=1
斜率为1的直线L y=x+b
设A(x1,y1) B(x2,y2) 且以AB为直径的圆经过原点,AO⊥BO
kAO*kBO=-1 y1/x1*y2/x2=-1 x1x2+y1y2=0
x^2-y^2/2=1 2x^2-y^2=2
y=x+b
2x^2-(x^2+2bx+b^2)-2=0
x^2-2bx-(b^2+2)=0
x1+x2=2b x1x2=-(b^2+2)
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b^2=-b^2-2+2b^2+b^2=2b^2-2
x1x2+y1y2=-b^2-2+2b^2-2=0
b^2=4
b=2或b=-2
直线L方程 y=x+2或y=x-2