抛物线交点弦弦长等于2p/正切夹角的平方（夹角为弦的倾斜角）如何推导

Question

抛物线交点弦弦长等于2p/正切夹角的平方（夹角为弦的倾斜角）如何推导

Answer 1

设抛物线方程为 y^2=2px(p>0),焦点F(p/2,0),弦AB过焦点F,且A(x1,y1),B(x2,y2)
由抛物线定义,|AB|=|AF|+|BF|=(x1+p/2)+(x2+p/2)=x1+x2+p
设 AB的倾斜角为 a,则AB所在直线方程为 y=tana(x-p/2)
代入抛物线方程得 (tana)^2(x-p/2)^2=2px
化简得 (tana)^2*x^2-(p(tana)^2+2p)x+(p/2*tana)^2=0
所以 x1+x2=p+2p/(tana)^2
故 |AB|=2p+2p/(tana)^2
=2p/(sina)^2
（你给的那个结论错了）