如图所示，在光滑水平桌面上静置一质量为M=980g的长方形匀质木块，现有一颗质量为m=20g的子弹以v0=300m/s的水平速度沿其轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，且子弹打进木块的深

Question

如图所示，在光滑水平桌面上静置一质量为M=980g的长方形匀质木块，现有一颗质量为m=20g的子弹以v₀=300m/s的水平速度沿其轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，且子弹打进木块的深度为d=6cm，已知木块的总长度为L=10cm（沿子弹运动方向），设木块对子弹的阻力保持不变．

（1）求子弹和木块的共同的速度以及它们在此过程中所增加的内能．
（2）若子弹是以v₀=400m/s的水平速度从同一方向射向该木块的，则它能否射穿该木块？
（3）若能射穿木块，求子弹和木块的最终速度是多少？

Answer 1

（1）设子弹的初速度为v₀，射入木块的共同速度为v．以子弹和木块为系统，由动量守恒定律有mv₀=（M+m）v
解得v=(mv0)/(M+m)=(0.02×300)/(0.98+0.02)m/s=6.0m/s
此过程系统所增加的内能△E=△Ek=(1)/(2)m

v

2 0

-(1)/(2)(M+m)v2=(1)/(2)×0.02×3002J-(1)/(2)×(0.98+0.02)×62J=882J
（2）设以v₀′=400m/s的速度刚好能够射穿材质一样厚度为d′的另一个木块．则对以子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律有mv'₀=（M+m）v'v′=(mv′0)/(M+m)=(0.02×400)/(0.98+0.02)m/s=8.0m/s
此过程系统所损耗的机械能△E′=△E′k=(1)/(2)mv

′

2 0

-(1)/(2)(M+m)v′2=(1)/(2)×0.02×4002J-(1)/(2)×(0.98+0.02)×82J=1568J
由功能关系有△E=fs_相=fd，△E'=f's_相=fd'两式相比即有(△E)/(△E′)=(fs相)/(fs′相)=(fd)/(fd′)=(d)/(d′)
于是有d′=(△E′)/(△E)d=(1568)/(882)×6cm=(1568)/(147)cm>10cm
因为d′>10cm，所以能够穿透此木块．
（3）设射穿后，最终子弹和木块的速度分别为v₁和v₂，系统产生的内能为f
 L=(10)/(6)×fd=(5)/(3)×882=1470 J
由动量守恒定律mv₀=mv₁+Mv₂
由能量守恒定律fL=(1)/(2)×mV₀²-(1)/(2)×Mv₁²-(1)/(2)×mv₂²
代入数字化简得v₁+49v₂=400
v₁²+49v₂²=13000
消去v₁得v₂²-16 v₂+60=0
解得   v₁=106 m/s，v₂=6 m/s
答：（1）子弹和木块的共同的速度为6m/s；它们在此过程中所增加的内能为882J；
（2）若子弹是以v₀=400m/s的水平速度从同一方向射向该木块的能够射穿该木块；
（3）若能射穿木块，求子弹和木块的最终速度是106m/s和6m/s．