如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）（理）求二面角A1-DE-B的大小．（文）异面直线A1C与AB所成的角．

Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）（理）求二面角A₁-DE-B的大小．
（文）异面直线A₁C与AB所成的角．

Answer 1

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

＝(0，2，1)，

DB

＝(2，2，0)，

A1C

＝(−2，2，−4)，

DA1

＝(2，0，4)．
（Ⅰ）因为

A1C

•

DB

＝0，

A1C

•

DE

＝0，A₁C⊥BD，A₁C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）设向量n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则n⊥

作业帮用户 2017-09-30

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问题解析

（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz．用坐标表示向量，从而可证

A1C

•

DB

＝0，

A1C

•

DE

＝0，故有A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）先求平面的法向量，利用向量n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则n⊥

DE

，n⊥

DA1

．再用向量的夹角公式求解即可
（文）

A1C

＝(−2，2，−4)，

AB

＝(0，2，0)再用向量的夹角公式求解即可求异面直线A₁C与AB所成的角．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题以正四棱柱为载体，考查线面位置关系，考查线线角，面面角，关键是构建空间直角坐标系．

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