例求过两圆C1:X^2+Y^2-4X+2Y=0和圆C2:X^2+Y^2-2Y-4=0的交点,且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程解设两圆交点的圆系方程为：x²+y²-4x+2y+λ(x²+y²-2y-4)=0（不包括c2,且λ≠-1）即(1+λ)x&

Question

【例】求过两圆C1:X^2+Y^2-4X+2Y=0和圆C2:X^2+Y^2-2Y-4=0的交点,且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程
【解】设两圆交点的圆系方程为：
x²+ y²-4x+2y+λ(x²+y²-2y-4)=0（不包括c2,且λ≠-1）
即(1+λ)x²+(1+λ)y²-4x+2(1-λ)y-4λ=0
圆心C：(2/(1+λ),(λ-1)/(1+λ))
因C在l上
故4/(1+λ)+4(λ-1)/(1+λ)-1=0
解之λ=1/3
即C:x²+ y²-3x+y-1=0
我的问题是：为什么x²+ y²-4x+2y+λ(x²+y²-2y-4)=0（不包括c2）?这条圆系不是表示过两圆交点的吗?

Answer 1

答：⑴设曲线C1的方程为f1(x,y)=0,曲线C2的方程为f2(x,y)=0,则经过C1与C2交点的曲线可表示为C：λ1f1(x,y)+λ2f2(x,y)=0（λ1与λ2不同时为0）.
　　⑵当λ1＝0,λ2≠0时,C表示C2,当λ1≠0,λ2＝0时,C就表示C1.
　　⑶你所列的圆系的方程就如上述“λ1＝0,λ2≠0”的情形,因为方程x²+ y²-4x+2y+λ(x²+y²-2y-4)=0（不包括c2,且λ≠-1）无论λ取什么值,均无法化为方程　X^2+Y^2-2Y-4=0,故不包括曲线C2,但当λ＝0时,方程可化为:X^2+Y^2-4X+2Y=0,因此是包括曲线C1的.