某矩形花园ABCD，AB=2，AD＝3，H是AB的中点，在该花园中有一花圃其形状是以H为直角顶点的内接Rt△HEF，其中E、F分别落在线段BC和线段AD上如图．分别记∠BHE为θ，Rt△EHF的周长为l，Rt△EHF的面

Question

某矩形花园ABCD，AB=2，AD＝√(3)，H是AB的中点，在该花园中有一花圃其形状是以H为直角顶点的内接Rt△HEF，其中E、F分别落在线段BC和线段AD上如图．分别记∠BHE为θ，Rt△EHF的周长为l，Rt△EHF的面积为S
（1）试求S的取值范围；
（2）θ为何值时l的值为最小；并求l的最小值．

Answer 1

（1）：由图可知在Rt△HBE中有HE＝(1)/(cosθ)
在Rt△HAF中有HF＝(1)/(sinθ)（2分）
由于E在BC上，F在AD上．故(π)/(6)≤θ≤(π)/(3)（4分）
∴S＝(1)/(2)HE•HF
=(1)/(2)•(1)/(cosθ)•(1)/(sinθ)
=(1)/(sin2θ)（6分）
由(π)/(6)≤θ≤(π)/(3)得(π)/(3)≤2θ≤(2π)/(3)
∴sin2θ∈[(√(3))/(2)，1]
∴S∈[1，(2√(3))/(3)]（9分）
（2）由HE＝(1)/(cosθ)，HF＝(1)/(sinθ)
在Rt△HEF中有FE＝√(HE2+HF2)＝(1)/(sinθ•cosθ)
∴l＝(1)/(sinθ)+(1)/(cosθ)+(1)/(sinθ•cosθ)
=(sinθ+cosθ+1)/(sinθ•cosθ)
令sinθ+cosθ=t，则

作业帮用户 2016-11-17