H是三角形ABC垂心,AB=4,AC=2,BC=3,向量AH=x向量AB+y向量AC,求x+y自己搞了2个小时绕不出来，

Question

H是三角形ABC垂心,AB=4,AC=2,BC=3,向量AH=x向量AB+y向量AC,求x+y
自己搞了2个小时绕不出来，

Answer 1

由 BC^2=(AC-AB)^2=AC^2-2AC*AB+AB^2 得
9=4-2AC*AB+16 ,
解得 AC*AB=11/2 ,
因为 H 是三角形 ABC 的垂心,所以 AH丄BC ,即 AH*BC=0 ,
所以 AH*(AC-AB)=0 ,
则 AH*AC=AH*AB ,
所以 x*AB*AC+y*AC^2=x*AB^2+y*AB*AC ,
计算得 11x/2+4y=16x+11y/2 ,（1）
又 CH丄AB ,因此 CH*AB=0 ,
即 (AH-AC)*AB=0 ,
因此 AH*AB=AC*AB,
所以 16x+11y/2=11/2 ,（2）
由（1）（2）解得 x= -11/45 ,y=77/45 ,
因此 x+y=22/15 .