一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B、C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m．(1)若水平放置的

Question

一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B、C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m．
(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P．设∠CMN=θ(rad)，试用θ表示木棒MN和长度f(θ)．
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

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Answer 1

【分析】(1)如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．在RtΔNWS中用NW和∠SNW表示出NS，在RtΔQPS中用PQ和∠PQS表示出QS，然后分别看S在线段TG上和在线段GT的延长线上分别表示出TS=QT-QS，然后在RtΔSTM中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表达式和f(θ)的表达式．
(2)设出sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ可用t表示出，然后可得f(θ)关于t的表达式，对函数进行求导，根据t的范围判断出导函数小于0推断出函数为减函数．进而根据t的范围求得函数的最小值．

(1)如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．
在RtΔNWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，
所以．
因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，
在RtΔQPS，因为PQ=1，∠PQS=θ，
所以，，
①若S在线段TG上，则TS=QT-QS，
在RtΔSTM中，，
因此MN=NS+MS=．
②若S在线段GT的延长线上，则TS=QS-QT，
在RtΔSTM中，，
因此MN=NS-MS==．
f(θ)=MN===．
(2)设，则，
因此．
因为.
又，所以g′(t)<0恒成立，
因此函数在是减函数，所以，
即．
答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，基本的运算能力．