（2014•昆都仑区一模）如图，正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，F为DC上一点，且CE=CF，连接BF并延长与DE交于点G．（1）如图①，求证：BG⊥DE；（2）如图②，当点F为边CD的中点时，连接EF并

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（2014•昆都仑区一模）如图，正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，F为DC上一点，且CE=CF，连接BF并延长与DE交于点G．

（1）如图①，求证：BG⊥DE；
（2）如图②，当点F为边CD的中点时，连接EF并延长交AD于点H，连接BH，求证：四边形BEDH是等腰梯形；
（3）如图③，点G是DE的中点时，连接BD、AG交于点M，求证：DE=

AM．

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCE=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BCD=∠DCE．
在△BCF和△DCE中

BC＝DC

∠BCD＝∠DCE

CF＝CE

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠BFC=∠E，∠CBF=∠CDE．
∵∠E+∠CDE=90°，
∴∠E+∠CBF=90°，
∴∠BGE=90°，
∴BG⊥DE；
（2）证明：如图②∵F为边CD的中点，
∴DF=CF=

CD．
∵AD∥BC，
∴∠DHF=∠CEF．
在△HDF和△ECF中

∠DHF＝∠CEF

∠HDF＝∠ECF

DF＝CF

，
∴△HDF≌△ECF（AAS），
∴HD=CE，
∴HD=CF=

CD，
∴HD=

AD，
∴AH=HD，
∴AH=CE．
在△DCE和△BAH中

CE＝AH

∠DCE＝∠A

CD＝AB

，
∴△DCE≌△BAH（SAS），
∴DE=BH．
∵AD∥BE，
∴四边形BEDH是等腰梯形；
（3）如图③，连结CG，
∵G是DE的中点，
∴CG=DG，
∴∠DCG=∠GDC，
∴∠ADG=∠BCG．
在△ADG和△BCG中