如图所示，一个质量为M，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑，试求：质点离开球面以前的轨迹．

Question

如图所示，一个质量为M，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑，试求：质点离开球面以前的轨迹．

Answer 1

质点下滑，半球后退，水平方向合力为零，满足水平方向动量守恒，
建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标．
由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图所示：
设质点水平方向运动的位移为x，半圆运动的位移为X，运动时间为t，根据水平方向动量守恒定律得：
M(X)/(t)=m(x)/(t)，
根据几何关系得：
x+X=Rsinθ
解得：x=(M)/(M+m)Rsinθ…①
而由图知：y=Rcosθ…②
由①②得：
(x2)/(((MR)/(M+m))2)+(y2)/(R2)=1
则质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和(M)/(M+m)R的椭圆．
答：质点离开球面以前的轨迹方程为(x2)/(((MR)/(M+m))2)+(y2)/(R2)=1，轨迹是一个长、短半轴分别为R和(M)/(M+m)R的椭圆．