已知椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0），c2是a2与b2的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原

Question

已知椭圆 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 的两个焦点为F ₁ （-c，0）、F ₂ （c，0），c ² 是a ² 与b ² 的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 (3)/(2) ．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P是椭圆上一动点，定点A ₁ （0，2），求△F ₁ PA ₁ 面积的最大值；
（3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．

Answer 1

（1）在椭圆中，由已知得 c 2 = a 2 - b 2 =(a2 + b2)/(2) （1分）
过点A（0，-b）和B（a，0）的直线方程为 (x)/(a) +(y)/(-b) =1 ，即bx-ay-ab=0，该直线与原点的距离为 (3)/(2) ，
由点到直线的距离公式得： (ab)/(a2 + b2) =(3)/(2) （3分）
解得：a ² =3，b ² =1，
所以椭圆方程为 (x2)/(3) + y 2 =1 （4分）
（2） F 1 (-

2

，0) ，直线F ₁ A ₁ 的方程为 y=

2

x+2 ， | F 1 A 1 |=

6

，
当椭圆上的点P到直线F ₁ A ₁ 距离最大时，△F ₁ PA ₁ 面积取得最大值（6分）
设与直线F ₁ A ₁ 平行的直线方程为 y=

2

x+d ，将其代入椭圆方程 (x2)/(3) +(y2)/(1) =1 得： (7)/(3) x 2 +2d

2

x+ d 2 -1=0 ，△=0，即 8 d 2 -(28)/(3) d 2 +(28)/(3) =0 ，解得d ² =7，
所以当 d=-

7

时，椭圆上的点P到直线F ₁ A ₁ 距离最大为 (2+7)/(3) ，此时△F ₁ PA ₁ 面积为 (1)/(2)

6

(2+7)/(3) =(22+14)/(2) （9分）
（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k ² ）x ² +6ktx+3t ² -3=0，
由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt） ² -12（1+3k ² ）（t ² -1）＞0，解得 k 2 ＞(t2 -1)/(3) （11分）
设C（x ₁ ，y ₁ ）、D（x ₂ ，y ₂ ），则 x 1 + x 2 =-(6kt)/(1+3 k2) ， x 1 • x 2 =(3( t2 -1))/(1+3 k2) ，
因为以CD为直径的圆过E点，所以

EC

•

ED

=0 ，即（x ₁ +1）（x ₂ +1）+y ₁ y ₂ =0，（13分）
而y ₁ y ₂ =（kx ₁ +t）（kx ₂ +t）= k 2 x 1 x 2 +tk( x 1 + x 2 )+ t 2 ，
所以 ( k 2 +1)(3( t2 -1))/(1+3 k2) -(tk+1)(6kt)/(1+3 k2) + t 2 +1=0 ，解得 k=(2 t2 -1)/(3t) （14分）
如果 k 2 ＞(t2 -1)/(3) 对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点． ((2 t2 -1)/(3t) ) 2 -(t2 -1)/(3) =(( t2 -1)2 + t2)/(9 t2) ＞0 ，即 k 2 ＞(t2 -1)/(3) ．
所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）