设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（1，32），F1、F2分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e=12．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，直线l过椭圆的右焦点F2与椭圆C交于M、N两点．

Question

设椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）过点（1，(3)/(2)），F₁、F₂分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e=(1)/(2)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，直线l过椭圆的右焦点F₂与椭圆C交于M、N两点．若OM、ON 的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=-3，求直线l的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）过点（1，(3)/(2)），
F₁、F₂分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e=(1)/(2)，
∴(c)/(a)＝(1)/(2)，∴a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆方程为(x2)/(4c2)+(y2)/(3c2)＝1．…（2分）
把点（1，(3)/(2)）代入椭圆，得(1)/(4c2)+(((3)/(2)))/(3c2)＝1，解得c²=1．
∴椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．…（4分）
（2）若直线l斜率不存在，k1 +k2＝0不合题意，
∴直线l的斜率存在．…（5分）
设直线l为y=k（x-1），代入椭圆方程(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…（7分）
依题意△=9k²+9＞0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2＝(2k2)/(3+4k2)，x1x2＝(4k2−12)/(3+4k2)．…（8分）
∵k₁+k₂=-3，
∴k₁+k₂=(y1)/(x1)+(y2)/(x2)=k（(x1−1)/(x1)+(x2−1)/(x2)）
=k（2-(x1+x2)/(x1x2)）
=k（2-(2k2)/(k2−3)）=-3．…（10分）
整理，得k²-2k-3=0，解得k=3或k=-1．
∴所求直线MN的方程为3x-y-3=0或x+y-1=0．…（12分）