如图所示，一棍粗细均匀的足够长直杆竖直固定放置，其上套有A、B两圆环，质量分别为mA、mB，且mA：mB=4：1．杆上P点上方是光滑的且长度为L；P点下方是粗糙的，杠对两环的滑动摩擦力大小

Question

如图所示，一棍粗细均匀的足够长直杆竖直固定放置，其上套有A、B两圆环，质量分别为m_A、m_B，且m_A：m_B=4：1．杆上P点上方是光滑的且长度为L；P点下方是粗糙的，杠对两环的滑动摩擦力大小均等于环各自的重力．现让环A静止在P处，再将环B从杆的顶端由静止释放，B下落与A发生的碰撞，碰撞时间极短，碰后B的速度方向向上，速度大小为碰前的(3)/(5)．求：
（1）B与A发生第二次碰撞时的位置到P点的距离；
（2）B与A第一次碰撞后到第二次碰撞前，B与A间的最大距离．

Answer 1

（1）设B自由下落L时速度为v₀，由机械能守恒定律得
m_BgL=(1)/(2)m_B

v

2 0

解得：v_B=at₁ ①
设B与A碰撞后瞬间，B的速度大小为V_B，A的速度大小为V_A，
A，B组成的系统动量守恒，规定向下的方向为正．
m_Bv₀=-m_Bv_B+m_Av_A ②
将v_B=(3)/(5)v₀ 代入上式解得：
v_A=(2)/(5)v₀   ③
碰撞后A匀速下滑，B做竖直上抛运动，从返回到P点时，速度大小仍为v_B，
此后，B也做匀速运动，
由于v_B＞v_A所以B也会发生第二次碰撞．
设A、B碰撞后经时间t发生第二次碰撞，B做竖直上抛运动返回到P点经历的时间为t，
则：A的位移：s_A=v_At  ④
B匀速运动的位移：s_B=v_B（t-t₁）   ⑤
t₁=(2vB)/(g)⑥
由s_A=s_B并联立①③④⑤⑥解得：t=(18v0)/(5g)⑦
S_A=(36v20)/(25g)=(72L)/(25) ⑧
所以，A、B第二次碰撞的位置在P点下方(72L)/(25)．
（2）两环相距最远时，速度相同，v_B=v_A，
此时B环在P点上方，设经历的时间为t′
由v_A=v_B+gt′
解得t′=(v0)/(g)⑨
A的位移：S′_A=v_At′=(2v20)/(5g)
B的位移：S′_B=(−v20)/(10g)
△S=S′_A-S′_B=(v20)/(2g)=L
答：（1）B与A发生第二次碰撞时的位置在P点下方(72L)/(25)．
（2）B与A第一次碰撞后到第二次碰撞前，B与A间的最大距离是L．