设limn→∞n^[2nsin(1/n)]*an=1,讨论∑an的敛散性.

Question

设lim n→∞ n^[2nsin(1/n)]* an=1,讨论∑an 的敛散性.

Answer 1

∑an 是收敛的.
首先不难看出,存在N1,当n>N1时,
an>0.（由保号性可以得到） （1）
其次,因为lim n→∞ n^[2nsin(1/n)]* an=1,所以存在N2,当n>N2时有,
n^[2nsin(1/n)]* an2,所以存在N3,当n>N3时有
2nsin(1/n)>1.5 （3）
取N=max{N1,N2,N3},则当n>N时,(1)(2)(3)都成立,即有
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