将一块圆心角为60°，半径为20cm的扇形铁电裁成一个矩形，求裁得矩形的最大面积．

Question

将一块圆心角为60°，半径为20cm的扇形铁电裁成一个矩形，求裁得矩形的最大面积．

Answer 1

如图设∠PON=θ，则PN=20sinθ，MN=20cosθ-(20)/(√(3))sinθ，
S_MNPQ=20sinθ（20cosθ-(20)/(√(3))sinθ），
当θ=30°时，S_MNPQ取最大值(200√(3))/(3)．
如图（2），设∠FOA=θ，则EF=40sin（30°-θ），在△OFG中，∠OGF=150°，故
(FG)/(sinθ)＝(R)/(sin150°)即FG=40sinθ
设矩形的面积为S．
那么S_矩形EFFG=1600sinθsin（30°-θ）
=800[cos（2θ-30°）-cos30°]=800[cos（2θ-30°）-(√(3))/(2)]
又∵0＜θ＜30°，故当cos（2θ-30°）=1即θ=15°时，S取最大值400（2-√(3)），显然，(√(3))/(6)×400＞(2−√(3))×400，所以内接矩形的最大面积为(200√(3))/(3)．