证明连续k个正整数之积不是完全平方数

Question

证明连续k个正整数之积不是完全平方数

Answer 1

假设存在连续101个正整数之积为完全平方数,则这101个正整数中,至多2个97的倍数,2个89的倍数,2个83的倍数,2个79的倍数,2个73的倍数,2个71的倍数,2个67的倍数,2个61的倍数,2个59的倍数,2个53的倍数,3个47的倍数,3个43的倍数,3个41的倍数,3个37的倍数,4个31的倍数,4个29的倍数,5个23的倍数,6个19的倍数,6个17的倍数,8个13的倍数,10个11的倍数,15个7的倍数
101-2*10-3*4-4*2-5-6*2-8-10-15=11
所以至少有11个数的素因子要么是2,3,5,要么不小于101
显然,这些数的不小于101的素因子的次数均为偶数.
又若这些数的2,3,5的次数≥2,则总可以减去一个偶数,使次数变成0或1
于是这11个数可以表示为如下形式:(2^Ri)*(3^Si)*(5^Ti)*(Ui^2),其中Ri,Si,Ti为0或1,Ui为正整数,1≤i≤11
因为不同的数组(Ri,Si,Ti)只有8组,固由抽屉原理知,必有2个数组完全相同.那么对应的这2个数之积为完全平方数
设这2个数为m,m+n,则m(m+n)为完全平方数,其中m,n为正整数,且1≤n≤100
设(m,n)=d,则m=ds^2,m+n=dt^2,其中d,s,t为正整数,s2ds
所以m=ds^2≤(ds)^2≤49^2=2401
这说明,这连续101个正整数中,必有一个数不超过2401
又根据101,199,293,389,487,587,683,773,863,953,1051,1151,1249,1327,1427,1523,1621,1721,1811,1907,2003,2099,2179,2273,2371,2467这26个素数可以知道,只要这连续101个正整数中有一个数不超过2401,那么必有这26个素数其中之一,显然同这连续101个正整数之积为完全平方数矛盾