如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若λ=12，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的正弦值为314，试求λ的值．

Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，M是AB₁上的动点，且AM=λAB₁，N是CC₁的中点．
（Ⅰ）若λ=(1)/(2)，求证：MN⊥AA₁；
（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的正弦值为√((3)/(14))，试求λ的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB中点E，连结ME，CE，则有ME与NC平行且相等．
∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE             …（2分）
∵AA₁⊥面ABC，CE⊂面ABC，
∴AA₁⊥CE，∴MN⊥AA₁．…（4分）
（Ⅱ）以AB，AA₁为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如图，B（1，0，0），N（(1)/(2)，(√(3))/(2)，1），B₁（1，0，2），M（λ，0，2λ），

MN

=（(1)/(2)-λ，(√(3))/(2)，1-2λ），

AB

=（1，0，0），

AN

=（(1)/(2)，(√(3))/(2)，1）
…（6分）
设

作业帮用户 2017-09-28

问题解析

（Ⅰ）取AB中点E，连结ME，CE，证明MN∥CE，利用AA₁⊥面ABC，即可证明MN⊥AA₁；
（Ⅱ）以AB，AA₁为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系，求出平面ABN的法向量，利用直线MN与平面ABN所成角的正弦值为√((3)/(14))，即可求λ的值．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角．

考点点评：

本题考查线面垂直的性质，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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