设H为锐角△ABC的三条高AD,BE,CF的交点,若BC=a,AC=b,AB=c,则AH*AD+BH*BE+CH*CF等于（ ）

Question

设H为锐角△ABC的三条高AD,BE,CF的交点,若BC=a,AC=b,AB=c,则AH*AD+BH*BE+CH*CF等于（ ）

Answer 1

以题意：三角形AHF相似于三角形ABD 有AF/AD=AH/AB 所以AD*AH=AF*AB
同理 三角形AHE相似于三角形ACD 有AH/AC=AE/AD 所以AH*AD=AE*AC
同上能得：BH*BE=BD*BC=BF*BA CH*CF=CE*CA=CD*CB
所以：AH*AD+BH*BE+CH*CF=1/2(2AH*AD+BH*BE+CH*CF)
=1/2(AF*AB+AE*AC+BD*BC+BF*BA+CE*CA+CD*CB)
=1/2[AB(AF+BF)+AC(AE+CE)+BC(BD+DC)]
=1/2(AB^2+AC^2+BC^2)
=1/2(a^2+b^2+c^2)