请好人帮我分析一道基本利用分部积分法解决的关于定积分计算的题!我主要不明白计算的第一步中“+”号右边是怎么消去原函数f(x)的积分上下限数值的变化以及负号是怎么产生的和(x-1)的

Question

请好人帮我分析一道基本利用分部积分法解决的关于定积分计算的题!
我主要不明白计算的第一步中“+”号右边是怎么消去原函数f(x)的积分上下限数值的变化以及负号是怎么产生的和(x-1)的平方的出现和负号的关系!“+”号左边我明白是使用分部积分公式得到的,这一项继续计算的结果是比较容易得到!

Answer 1

等号右边是变限积分求导
分部积分：
∫f(x)dx=xf(x)-∫xd[f(x)].(*)
后面的d[f(x)]=f'(x)dx
而f'(x)=d[∫(x-1,2)e^y²]/dx=-d[∫(2,x-1)e^y²]/dx (交换上下限变成变上限积分)
根据变上限积分求导公式d[∫(a,b(x))f(x)dx]/dx=f(b(x))*[b'(x)]得
f'(x)=-d[∫(2,x-1)e^y²]/dx
=-e^(x-1)²*(x-1)'
=-e^(x-1)²
代回到(*)式,即得
∫(1,3)f(x)dx=xf(x)|(1,3)-∫(1,3)xd[f(x)]
=xf(x)|(1,3)-∫(1,3)[-xe^(x-1)²]dx
=xf(x)|(1,3)+∫(1,3)[xe^(x-1)²]dx