椭圆上到椭圆短轴端点最远的点,证明

Question

椭圆上到椭圆短轴端点最远的点,证明

Answer 1

不妨设椭圆方程为
(x²/a²)+(y²/b²)=1.（a＞b＞0).
可设点P(acost, bsint)是椭圆上的一点.
再设点Q(0,b)是短轴的一个端点.
由两点间距离公式可得：
|PQ|²=(acost)²+(bsint-b)²
=a²(1-sin²t)+b²(1-sint)²
=(a²+b²)-2b²sint-c²sin²t
=-[csint+(b²/c)]²+(a²/c)²
=-c²[sint+(b/c)²]²+(a²/c)²
【1】
当0＜b≦c时, 0＜(b/c)²≦1.
此时|PQ|≦a²/c.
∴此时最远点是（±a²(c²-b²)/c², -b³/c²)
最远距离为a²/c
【2】
当0＜c＜b时,(b/c)²＞1
此时最远点是（0,-b).
最远距离为2b.