在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数1xf(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数f(x)=1-11+x．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是

Question

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数 (1)/(x) f(x) 为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数 f(x)=1-(1)/(1+x) ．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
（2）设x ₁ ，x ₂ ∈[0，+∞），x ₁ ≠x ₂ ，证明 |f( x 2 )-f( x 1 )|＜(1)/(2) | x 2 - x 1 | ；
（3）当x∈[0，1]时，不等式 1-ax≤(1)/(1+x) ≤1-bx 恒成立，求实数a，b的取值范围．

Answer 1

（1）显然f（x）在区间（0，1]为增函数，
∵ (1)/(x) f(x)=(1)/(x) (1-(1)/(1+x) )=(1)/(x) (1+x-1)/(1+x) =(1)/(x) (x)/(1+x(1+x+1)) =(1)/(1+x+1+x) ，
∴ (1)/(x) f(x) 为减函数．∴f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．
（2） |f( x 2 )-f( x 1 )|=|(1)/(1+ x2) -(1)/(1+ x1) |=(|1+ x1-1+ x2|)/(1+ x21+ x1) =(| x2 - x1 |)/(1+ x21+ x1(1+ x2+1+ x1)) ，
∵x ₁ ，x ₂ ∈[0，+∞），x ₁ ≠x ₂ ，

1+ x 2

1+ x 1

(

1+ x 2

+

1+ x 1

)＞2 ，
∴|f（x ₂ ）-f（x ₁ ）| ＜(1)/(2) | x 2 - x 1 | ．
（3）∵当x∈[0，1]时，不等式 1-ax≤(1)/(1+x) ≤1-bx 恒成立． 当x=0时，不等式显然成立．
当x∈（0，1]时．等价于：

a≥(1)/(x) f(x)

b≤(1)/(x) f(x)

，
由（1） (1)/(x) f(x) 为减函数， 1-(2)/(2) ≤(1)/(x) f(x)＜(1)/(2) ，∴ a≥(1)/(2) ，b≤1-(2)/(2) ．