设函数f（x）在区间（-δ，δ）内有定义，若当x∈（-δ，δ）时，恒有|f（x）|≤x2，则x=0必是f（x）（）A．间断点B．连续而不可导的点C．可导的点，且f′（0）=0D．可导的点，且f′（0）

Question

设函数f（x）在区间（-δ，δ）内有定义，若当x∈（-δ，δ）时，恒有|f（x）|≤x²，则x=0必是f（x）（　　）

A．间断点
B．连续而不可导的点
C．可导的点，且f′（0）=0
D．可导的点，且f′（0）≠0

Answer 1

由题意有：|f（x）|≤x²
令x=0；得：
|f（0）|≤0
因此：f（0）=0．
又因为：

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x)=

lim

x→0

(f(x))/(x)
=

lim

x→0

(f(x))/(x2)x
因为：
-|f（x）|≤f（x）≤|f（x）|≤x²
所以：
当x≠0时：
-1≤(f(x))/(x2)≤1；
所以有：

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x)=

lim

x→0

(f(x))/(x2)x=0．
由导数的定义即：
f'（0）=0
因此：f（x）在x=0处可导，因此必连续．
综上分析，可知本题选：C．