（2013•闵行区二模）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=

Question

（2013•闵行区二模）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：
①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．
②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．
（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．

Answer 1

如图所示，
（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的 面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cosθ（其中0＜θ＜(π)/(2)）；
∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=(π)/(4)时，S取最大值为400，此时BC=10√(2)；
所以，取BC=10√(2)时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm²．
②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 √(400−x2)（其中0＜x＜30），
∴S=2x √(400−x2)=2 √(x2(400−x2))≤x²+（400-x²）=400，当且仅当x²=400-x²，即x=10 √(2)时，S取最大值400；
所以，取BC=10 √(2)cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm²．
（2）由（1）知，取∠BOC=(π)/(4)时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm²．