如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）A1N∥平面AMP．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC₁，BB₁的中点．求证：

（1）平面AMP⊥平面BB₁C₁C；
（2）A₁N∥平面AMP．

Answer 1

证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，M是BB₁的中点，
∴AM⊥BC，AM⊥BB₁，
∵BC∩BB₁=B，
∴AM⊥平面BB₁C₁C，
∵AM⊂平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB₁C₁C．
（2）取B₁C₁中点E，连结A₁E、NE、B₁C，
∵M，N，P分别为BC，CC₁，BB₁的中点，
∴NE∥BC₁∥PM，A₁E∥AM，
∵PM∩AM=M，A₁E∩NE=E，PM、AM⊂平面APM，A₁E、NE⊂平面A₁EN，
∴平面A₁NE∥平面APM，
∵A₁N⊂平面A₁NE，∴A₁N∥平面AMP．