如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F．现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1，AD的中点E的对应点记为E1．若△E1FA1∽△E1BF，则AD=8585

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F．现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A₁，AD的中点E的对应点记为E₁．若△E₁FA₁∽△E₁BF，则AD=

(8)/(5)

(8)/(5)

．

Answer 1

∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=√(AB2−AC2)=4，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A₁，点E的对应点为E₁，
∴AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴(AD)/(AC)＝(DF)/(BC)，
即(2x)/(4)＝(DF)/(3)，
解得DF=(3)/(2)x，
在Rt△DE₁F中，E₁F=(√(13)x)/(2)，
又∵BE₁=AB-AE₁=5-3x，△E₁FA₁∽△E₁BF，
∴(E1F)/(A1E1)=(BE1)/(E1F)，
∴E₁F²=A₁E₁•BE₁，
即（(√(13)x)/(2)）²=x（5-3x），
解得x=(4)/(5)，
∴AD的长为2×(4)/(5)=(8)/(5)．
故答案为：(8)/(5)．