已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn=12（an-1）（an+2），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（-1）nanan+1，求数列{bn}的前2n项的和T2n．

Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和S_n=(1)/(2)（a_n-1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿa_na_n+1，求数列{b_n}的前2n项的和T_2n．

Answer 1

（1）当n=1时，S₁=(1)/(2)（a₁-1）（a₁+2），所以a₁=-1或a₁=2，
因为数列{a_n}的各项均为正数，所以a₁=2                        …（2分）
当n≥2时，S_n=(1)/(2)（a_n-1）（a_n+2），S_n-1=(1)/(2)（a_n-1-1）（a_n-1+2），
两式相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，…（6分）
又因为数列{a_n}的各项均为正数，所以a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1，
所以a_n=n+1；                                  …（8分）
（2）因为b_n=（-1）ⁿa_na_n+1，
所以数列{b_n}的前2n项的和T_2n=-a₁a₂+a₂a₃-…+a_2na_2n+1=2（a₂+a₄+…+a_2n），…（11分）
又a₂，a₄，…，a_2n是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a₂+a₄+…+a_2n=(n(3+2n+1))/(2)=n²+2n，
故T_2n=2n²+4n．                              …（14分）