三角形的周长为2P,设三边的长分别为a,b,c.为什么它的面积的平方是p*(p-a)*(p-b)*(p-c).怎么推导的

Question

三角形的周长为2P,设三边的长分别为a,b,c.为什么它的面积的平方是p*(p-a)*(p-b)*(p-c).怎么推导的

Answer 1

面积的平方是p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
以前别人提过一个类似的问题
海伦公式为
S=√[p*(p-a)*(p-b)*(p-c）]
其中,a,b,c为三角形的三边,p=(a+b+c)/2
其实海伦公式很好推的
推导过程如下
（为方便起见,仅以锐角三角形为例推导）
假设三角形三边为a,b,c,c边对应的高为h
则根据勾股定理
√(a²-h²)+√(b²-h²)=c
即√(a²-h²)=c-√(b²-h²)
两边同时平方
a²-h²=c²-2c√(b²-h²)+b²-h²
2c√(b²-h²)=c²+b²-a²
4c²b²-4c²h²=(c²+b²-a²)²
(2cb-c²-b²+a²)(2cb+c²+b²-a²)=4c²h²
(a²-(b-c)²)((b+c)²-a²)=4c²h²
(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)=4c²h²
则
S=ch/2
=√[(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)]/4
令a+b+c=2P
则
a-b+c=2P-2b
a+b-c=2P-2c
b+c-a=2P-2a
则
S=√[(2P-2b)(2P-2c)(2P-2a)2P]/4
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]