河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为a米、b米（即图（1）中所示AA′=a米，BB′=b米），A′B′=c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D

Question

河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为a米、b米（即图（1）中所示AA′=a米，BB′=b米），A′B′=c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．
（1）在图（2）中画出绿化带的位置，并写出画图过程；
（2）求AC+BD的最小值．

Answer 1

（1）如图，作线段AP∥l，使AP=s，且点P在点A右侧，
取点P关于l的对称点P′．
连BP′交l与点D．
在l上点D左侧截取DC=s，则CD即为所求绿化带的位置．
如图，设绿化带建于另一位置CD′．连BD′、PD′、AC、P′D′．
则由对称性知，P′D=PD，P'D'=PD'．
由AP

∥

.

CD及AP

∥

.

CD′，知AC=PD，AC=PD′，
但P′D′+D′B=PD+BD，即PD′+D′B≥PD+DB，就是AC+DB≤AC+BD′，（当且仅当D′在线段P′B与l的交点时等号成立）
所以，这样画出的AC+BD最小，

（2）AC+BD的最小值为线段P′B的长度，延长BB′，作P′H⊥BB′，交BB′与点H，则BH=BB′+B′H=b+a，P′H=c-s，
所以P′B=√(P′H2+BH2)=√((c−s)2+(b+a)2)，即AC+BD的最小值为√((c−s)2+(b+a)2)．