若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线

题目详情

若抛物线L：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．
作业搜

（1）若“路线”l的表达式为y=2x-4，它的“带线”L的顶点在反比例函数y=

（x<0）的图象上，求“带线”L的表达式；
（2）如果抛物线y=mx²-2mx+m-1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在 y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

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答案和解析

（1）∵“带线”L的顶点在反比例函数y=

（x<0）的图象上，
且它的“路线”l的表达式为y=2x-4，
∴直线y=2x-4与y=

的交点为“带线”L的顶点，
令2x-4=

，解得x₁=-1，x₂=3（舍去）
∴“带线”L的顶点坐标为（-1，-6）．
设L的表达式为y=a（x+1）²-6，
∵“路线”y=2x-4与y轴的交点坐标为（0，-4）
∴“带线”L也经过点（0，-4），将（0，-4）代入L的表达式，解得a=2
∴“带线”L的表达式为 y=2（x+1）²-6=2x²+4x-4；

（2）∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），
∴抛物线y=mx²-2mx+m-1与y轴的交点坐标也为（0，1），得m=2，
∴抛物线表达式为y=2x²-4x+1，其顶点坐标为（1，-1）
∴直线y=nx+1经过点（1，-1），解得n=-2，
∴“带线”L的表达式为y=2x²-4x+1“路线”l的表达式为y=-2 x+1；

（3）设抛物线的顶点为B，则点B坐标为（1，-1），
作业搜

过点B作BC⊥y轴于点C，又∵点A 坐标为（0，1），
∴AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路线”l是经过点A、B的直线
且 P与“路线”l相切于点A，
连接PA交 x轴于点D，则PA⊥AB，
显然Rt△AOD≌Rt△BCA，∴OD=AC=2，D点坐标为（-2，0）
则经过点D、A、P的直线表达式为y=

x+1，
∵点P为直线y=

x+1与抛物线L：y=2x²-4x+1的交点，
解方程组

y=2x2-4x+1

x+1

得

x1=0

y1=1

（即点A舍去），

x2=

y2=

即点P的坐标为(

，