已知函数f（x）=ex+e-x，其中e为自然对数的底数．（1）若∀x∈（0，+∞），mf（x）≤e-x+m-1，求实数m的取值范围；（2）已知正数a满足：∃x∈[1，+∞），f（x0）＜a（-x03+3x0）．试比较ea-1与ae-1

Question

已知函数f（x）=e^x+e^-x，其中e为自然对数的底数．
（1）若∀x∈（0，+∞），mf（x）≤e^-x+m-1，求实数m的取值范围；
（2）已知正数a满足：∃x∈[1，+∞），f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）．试比较e^a-1与a^e-1大小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤(e−x−1)/(ex+e−x−1)在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x，（t＞1），则m≤(1−t)/(t2−t+1)在（1，+∞）上恒成立，
∵(1−t)/(t2−t+1)=-(t−1)/((t−1)2+(t−1)+1)=-(1)/((t−1)+(1)/(t−1)+1)≥-(1)/(3)，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-(1)/(3)；
（3）令g（x）=e^x+e^-x-a（-x³+3x），
则g′（x）=e^x-e^-x+3a（x²-1），
当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故此时g（x）的最小值g（1）=e+(1)/(e)-2a，
由于存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，
故e+(1)/(e)-2a＜0，
即a＞(1)/(2)（e+(1)/(e)），
令h（x）=x-（e-1）lnx-1，
则h′（x）=1-(e−1)/(x)，
由h′（x）=1-(e−1)/(x)=0，解得x=e-1，
当0＜x＜e-1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e-1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e-1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴当x∈（1，e-1）⊆（0，e-1）时，h（e-1）≤h（x）＜h（1）=0，
当x∈（e-1，e）⊆（e-1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．
①a∈（(1)/(2)（e+(1)/(e)），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a-1＜（e-1）lna，从而a^e-1＞e^a-1，
②当a=e时，a^e-1=e^a-1，
③当a∈（e，+∞），e）⊆（e-1，+∞）时，当a＞e-1时，h（a）＞h（e）=0，即a-1＞（e-1）lna，从而a^e-1＜e^a-1．