设a＞0，f（x）=g（x）=a0若0≤x≤1，其他，而D表示全平面，则I=∬Df（x）g（y-x）dxdy=．

Question

设a＞0，f（x）=g（x）=

a

0

若0≤x≤1，

其他，

而D表示全平面，则I=

∬

D

f（x）g（y-x）dxdy=______．

Answer 1

注意到只有当0≤x≤1，0≤y-x≤1时，被积函数才不为零，
所以：
I=

∬

D

f(x)g(y−x)dxdy=

∬

0≤x≤1，0≤y−x≤1

a2dxdy．
记D′={（x，y）|0≤x≤1，0≤y-x≤1}，
则：D′={（x，y）|0≤x≤1，x≤y≤x+1}，
所以：
I=a2

∫

1 0

dx

∫

x+1 x

dy＝a2

∫

1 0

[(x+1)−x]dx＝a2，
故答案为：a²．