已知圆C:(x-m)^2+(y-根号3m)^2=m^2)是否存在直线L,使得对于任意的实数m,都有直线L与圆C相切若存在,请求出直线L的方程,若不存在,请说明理由（2）给定两个圆圆C1:(x-m1)^2+(y-根号3m1)^2+m=2和圆C2:(x-m2)^

Question

已知圆C:(x-m)^2+(y-根号3m)^2=m^2 )是否存在直线L,使得对于任意的实数m,都有直线L与圆C相切
若存在,请求出直线L的方程,若不存在,请说明理由
（2）给定两个圆圆C1:(x-m1)^2+(y-根号3m1)^2+m=2和圆C2:(x-m2)^2+(y-根号3m2)^2=m2^2若C1与C2的公共弦所在直线的方程为x+根号3y-6-=0,且公共弦长为根号3,求m1,m2的値

Answer 1

解析：圆C：(x-m)²+[y-(√3m)]²=m²,(m∈R且m≠0).
（1）假设存在直线L,使得对于任意的实数m,都有直线L与圆C相切.
当m取任意非零实数时,圆心C(m,√3m)在直线y=√3x上运动,半径为|m|,
①当直线L的斜率不存在时,设直线L的方程为x=t,
则由直线L与圆C相切可知,|t-m|=|m|,∴t=0,
∴符合题意的直线L的方程为x=0,（此时,直线L即为y轴所在直线）；
②当直线L的斜率存在时,设直线L的方程为y=kx,
则由直线L与圆C相切可知,|km-√3m|/√(1+k²)=|m|,
解得k=√3/3,
∴符合题意的直线L的方程为y=(√3x)/3,
因此,存在符合题意的直线L,其方程为x=0,或y=(√3x)/3.
（2）圆C1：(x-m1)²+[y-(√3m1)]²=m1²,
圆C2：(x-m2)²+[y-(√3m2)]²=m2²,(m1≠m2)
相减得,x+√3y-3(m1+m2)/2=0,
由题意,两圆公共弦所在方程为x+√3y-6=0,
∴m1+m2=4,
点C1(m1,√3m1)到直线x+√3y-6=0的距离为|m+3m1-6|/2=|2m1-3|,
圆C1的半径为|m1|,
又公共弦长为√3,
∴m1²=|2m1-3|²+3/4,得m1=(4±√3)/2,
∴m1=(4+√3)/2,m2=4-m1=(4-√3)/2,
或m1=(4-√3)/2,m2=4-m1=(4+√3)/2.