已知n，k均为自然数，且满足不等式713＜nn+k＜611．若对于某一给定的自然数n，只有唯一的自然数k使不等式成立，求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数．

Question

已知n，k均为自然数，且满足不等式(7)/(13)＜(n)/(n+k)＜(6)/(11)．若对于某一给定的自然数n，只有唯一的自然数k使不等式成立，求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数．

Answer 1

∵(7)/(13)＜(n)/(n+k)＜(6)/(11)，
∴(11)/(6)＜(n+k)/(n)＜(13)/(7)，
∴(5)/(6)＜(k)/(n)＜(6)/(7) ①，
∴(5n)/(6)＜k＜(6n)/(7) ②，
∵k为自然数，且对于给定n来说k的值只有一个，
∴(6)/(7)n-(5)/(6)n≤2，即(n)/(42)≤2，
∴n≤84，
当n=84时，代入②有：70＜k＜72，只能取得唯一一个k=71，
∴n的最大值为84；
又根据①式，(5)/(6)＜(k)/(n)＜(6)/(7)，显然n＞7，
当n取8时，6(2)/(3)＜k＜6(6)/(7)，没有符合条件的整数k；
当n取9时，7(1)/(2)＜k＜7(5)/(7)，没有符合条件的整数k；
当n取10时，8(1)/(3)＜k＜8(4)/(7)，没有符合条件的整数k；
当n取11时，9(1)/(6)＜k＜9(3)/(7)，没有符合条件的整数k；
当n取12时，10＜k＜10(2)/(7)，没有符合条件的整数k；
当n取13时，10(5)/(6)＜k＜11(1)/(7)，k=11，
∴n=13为符合条件的最小值．
综上可得：n的最大值为84，n的最小值为13．