（2012•镇江）对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛

Question

（2012•镇江）对于二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．
现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是______；
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值．
【发现】
通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是______．
【应用1】
二次函数y=-3x²+5x+2是二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
【应用2】
以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．

Answer 1

【尝试】
（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）．
（2）将x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴点A（2，0）在抛物线E上．
（3）将x=-1代入抛物线E的解析式中，得：
n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．

【发现】
将抛物线E的解析式展开，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）．

【应用1】
将x=2代入y=-3x²+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．
将x=-1代入y=-3x²+5x+2，计算得：y=-6≠6，
即可得抛物线y=-3x²+5x+2不经过点B，
二次函数y=-3x²+5x+2不是二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．

【应用2】
如图，作矩形ABC₁D₁和ABC₂D₂，过点B作BK⊥y轴于点K，过B作BM⊥x轴于点M，
易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC₁∽△MBA，
则：(AM)/(BM)=(C1K)/(BK)，即(3)/(6)=(C1K)/(1)，求得 C₁K=(1)/(2)，所以点C₁（0，(13)/(2)）．
易知△KBC₁≌△GAD₁，得AG=1，GD₁=(1)/(2)，
∴点D₁（3，(1)/(2)）．
易知△OAD₂∽△GAD₁，(D1G)/(OD2)=(AG)/(OA)，由AG=1，OA=2，GD₁=(1)/(2)，求得 OD₂=1，∴点D₂（0，-1）．
易知△TBC₂≌△OD₂A，得TC₂=AO=2，BT=OD₂=1，所以点C₂（-3，5）．
∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（-1，6），
∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D．
当抛物线E经过A、B、C₁时，将C₁（0，(13)/(2)）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t₁=-(5)/(4)；
当抛物线E经过A、B、D₁，A、B、C₂，A、B、D₂时，可分别求得t₂=(5)/(8)，t₃=-(1)/(2)，t₄=(5)/(2)．
∴满足条件的所有t的值为：-(5)/(4)，(5)/(8)，-(1)/(2)，(5)/(2)．