（2014•天津一模）已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；（Ⅱ）令h（x）=f

题目详情

（2014•天津一模）已知函数f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[−

，−

]，求：
（1）函数h（x）在区间（-∞，-1]上的最大值M（a）；
（2）若|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，求a的取值范围．

▼优质解答

答案和解析

（I）f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k₁=4a，g（x）=x³+bx，则f'（x）=3x²+b，k₂=12+b，
由（2，c）为公共切点，可得：4a=12+b ①
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴4a+1=8+2b，与①联立可得：a=

，b=5．
（2）由h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
则h′（x）=3x²+2ax+b，
因函数h（x）的单调递减区间为[−

，−

]，∴当x∈[−

，−

]时，3x²+2ax+b≤0恒成立，
此时，x=-

是方程3x²+2ax+b=0的一个根，得3（-

）²+2a（-

）+b=0，得a²=4b，
∴h（x）=x³+ax²+

a²x+1
令h'（x）=0，解得：x₁=-

，x₂=-

；
∵a＞0，∴-

＜-