求幂级数∞n＝1（-1）n-1xn+1n(n+1)，x∈（-1，1）的和函数．

Question

求幂级数

∞

n＝1

（-1）^n-1(xn+1)/(n(n+1))，x∈（-1，1）的和函数．

Answer 1

幂函数的收敛区间为[-1，1]，
∀x∈[-1，1]．令：s(x)＝

∞

n＝1

(−1)n−1(xn+1)/(n(n+1))
则：s′(x)＝

∞

n＝1

(−1)n−1(xn)/(n)＝ln(1+x)，（x≠-1）
所以：
s(x)＝

∫

x 0

s′(x)dx+s(0)
=

∫

x 0

ln(1+x)dx+0
=（1+x）ln（1+x）-x，x≠-1