如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1C⊥平面BDE．

Question

如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AA₁，B₁C的中点．

（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁C⊥平面BDE．

Answer 1

证明：（1），
∵G，E分别为CB，CB₁的中点，
∴EG∥BB₁，且EG＝(1)/(2)AA1，
又∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴EG∥AD，EG=AD
∴四边形ADEG为平行四边形．
∴AG∥DE
∵AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
所以  DE∥平面ABC．
（2）由可得，取BC中点G
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥平面ABC．
∵AG⊂平面ABC，
∴AG⊥BB₁，
∵G为BC的中点，AB=AC，
∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB₁C₁C，
∵B₁C⊂平面BB₁C₁C，
∴AG⊥B₁C，
∵AG∥DE
∴DE⊥B₁C，
∵BC=BB₁，B₁E=EC
∴B₁C⊥BE，
∵BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDEBE∩DE=E，
∴B₁C⊥平面BDE．