关于圆锥双曲线的问题设F1、F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点,点P在双曲线上,若向量PF1*向量PF2=0,且向量PF1*向量PF2=2ac,其中c=√a^2+b^2,求双曲线的离心率

Question

关于圆锥双曲线的问题
设F1、F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点,点P在双曲线上,若向量PF1*向量PF2=0,且向量PF1*向量PF2=2ac,其中c=√a^2+b^2,求双曲线的离心率

Answer 1

因为向量PF1*向量PF2=0,所以PF1⊥ PF2；所以PF1^2+PF2^2=F1F2^2=(2c)^2=4c^2
又|向量PF1|*|向量PF2|=2ac,而P在双曲线上,|IPF1I-lPF2l|=2a
所以,|IPF1I-lPF2l|^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|
即4a^2=4c^2-4ac
所以e^2+e-1=0,e=(√5-1)/2