空间直角坐标系(1517:28:11)在空间直角坐标系中,已知A（3,0,1）和B（1,0,-3）,试问⑴在y轴上是否存在点M,满足｜MA｜=｜MB｜?⑵在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标

Question

空间直角坐标系 (15 17:28:11)
在空间直角坐标系中,已知A（3,0,1）和B（1,0,-3）,试问
⑴在y轴上是否存在点M,满足｜MA｜=｜MB｜?
⑵在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标

Answer 1

1、根据空间二点距离公式,设M点坐标（x,y,z),(x-3)^2+y^2+(z-1)^2=(x-1)^2+y^2+(z+3)^2,化简得,x=-2z,这是一个平面方程,垂直于XOZ平面,而A、B均在XOZ平面,因M点在y轴,故x=0,z=0,故在Y轴任意一点均满足要求,M点在Y轴上均满足｜MA｜=｜MB｜.
2、AB两点距离为√[（3-1）^2+(1+3)^2]=2√5,以上已说明在Y轴上任意一点与A、B二点距离相等,设Y轴上点M（0,y,0)与A点距离为2√5,根据空间距离公式,9+y^2+1=20,y=±√10,点M坐标为(0,√10,0)或(0,-√10,0).