抛物线Y=-X²+2X+3与X轴相交于点A,B两点（点A在点B左侧）,与Y轴交于点C,顶点为D.连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段PC上的一个动点,过点P作PF‖DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m：①

Question

抛物线Y=-X²+2X+3与X轴相交于点A,B两点（点A在点B左侧）,与Y轴交于点C,顶点为D.连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段PC上的一个动点,过点P作PF‖DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m：①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.

Answer 1

（1）A（-1,0） B（3,0） C（0,3） 对称轴方程x=1
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b
1.用含m的代数式表示线段PE的长
因为B（3,0）C（0,3）所以有BC解析式为y=-x+3
y=-x+3与直线x=1交于E（1,2）
因为P的横坐标为m,P在直线BC上
所以P（m,-m+3）
由两点间距离公式可知,PE^2=(m-1)^2+(-m+3-2)^2=2(m-1)^2
所以PE=|根号2倍m-根号2|（抱歉,不会打根号）
2.求m为何值时四边形PEDF为平行四边形
因为PF平行于y轴
所以F的横坐标也为m
因为F在抛物线y=-x^2+2x+3上
所以F（m,-m^2+2m+3)
若PEDF为平行四边形,那么直线DF平行于直线PE
所以两直线的斜率相等
设直线DF的解析式为y=-x+t
因为过D（1,4）
所以t=5
所以直线DF的解析式为y=-x+5
因为F（m,-m^2+2m+3)在直线y=-x+5上
所以有-m+5=-m^2+2m+3
m^2-3m+2=0
m1=1,m2=2
所以F（1,4）或F（2,3）
若F为（1,4）则线段PF与线段DE重合（舍）
所以当m=2时,四边形PEDF为平行四边形
（3）设三角形BCF的面积为S,求S与m的函数关系式
PF=|Yf-Yp|（F、P两点纵坐标的差）
由F（m,-m^2+2m+3）,P（m,-m+3）可知
PF=|-m^2+3m|
因为P在线段BC上,所以0