函数轨迹方程已知圆的半径为6,圆内一定点P离圆心的距离为4,A、B是圆上的两动点且满足∠APB=90度,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程此题无图要详解

Question

函数轨迹方程
已知圆的半径为6,圆内一定点P离圆心的距离为4,A、B是圆上的两动点且满足∠APB=90度,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
此题无图
要详解

Answer 1

方法1：以圆心作为直角坐标原心,不妨令p（4,0）.设Q（x,y）
设A（x1,y1）B,（x2,y2）.
则有x=x1+x2-4,y=y1+y2
则有：x^2+y^2=x1^2+x2^2+16-8*x1-8*x2+2*x1*x2+y1^2+y2^2+
2*y1*y2
又有AP垂直于BP.则,二者斜率乘积等于-1
有：y1/(x1-4)=-(x2-4)/y2
化简有：y1*y2=-x1*x2+4(x1+x2)-16
代入上式,化简,整理有
x^2+y^2=56
(说明,此法需对斜率为0及无穷,另外验证.在此不再证明.)
方法2：以圆心作为直角坐标原心,不妨令p（4,0）.设Q（x0,y0）
设A（x1,y1）B,（x2,y2）.
则有x1+x2=4+x0,y1+y2=y0
又矩形所在的圆[x-（4+x0）/2）]^2+(y-y0/2)^2=（4-x0）/2）^2+(y0/2)^2
化简后有：x^2+y^2-(4+x0)*x+8x0-y0*y=0
把AB代入,并相加
则有72-(4+x0)*（x1+x2）+16x0-y0*（y1+y2)=0
再把x1+x2=4+x0,y1+y2=y0代入,整理既有
x^2+y^2=56.